Работа силы электростатического поля при перемещении заряда
Потенциальный характер сил поля.
Циркуляция вектора напряженности
Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое зарядом q. Пусть в нем перемещается пробный заряд q0. В любой точке поля на заряд q0 действует сила
где - модуль силы, - орт радиус-вектора, определяющего положение заряда q0 относительно заряда q. Так как сила меняется от точки к точке, то работу силы электростатического поля запишем как работу переменной силы:
Ввиду того, что рассматривали перемещение заряда из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории, можно сделать вывод, что работа по перемещению точечного заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь начальным и конечным положением заряда. Это свидетельствует о том, что электростатическое поле является потенциальным, а сила Кулона - консервативной силой. Работа по перемещению заряда в таком поле по замкнутому пути всегда рвана нулю.
Проекция на направление контура?.
Учтем, что работа по замкнутому пути равно нулю
ЦИРКУЛЯЦИЯ вектора напряженности.
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля, взятая по произвольному замкнутому контуру всегда равна нулю.
Потенциал.
Связь между напряженностью и потенциалом.
Градиент потенциала.
Эквипотенциальные поверхности
Поскольку электростатическое поле является потенциальным работа по перемещению заряда в таком поле может быть представлена, как разность потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути. (Работа равна уменьшению потенциальной энергии, или изменению потенциальной энергии, взятому со знаком минус.)
Постоянную определяют из условия, что при удалении заряда q0 на бесконечность его потенциальная энергия должна быть равна нулю.
Различные пробные заряды q0i , помещенные в данную точку поля будут обладать в этой точке различными потенциальными энергиями:
Отношение Wпот i к величине пробного заряда q0i, помещенного в данную точку поля является величиной постоянной для данной точки поля для всех пробных зарядов. Это отношение называется ПОТЕНЦИАЛОМ.
ПОТЕНЦИАЛ - энергетическая характеристика электрического поля. ПОТЕНЦИАЛ численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.
Работу по перемещению заряда можно представить в виде
Потенциал измеряется в Вольтах
ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ называются поверхности равного потенциала (ц = const). Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Связь между напряженностью и потенциалом ц можно найти, исходя из того, что работу по перемещению заряда q на элементарном отрезке d? можно представить как
Градиент потенциала.
Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус.
Градиент потенциала показывает, как меняется потенциал на единицу длины. Градиент перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.
Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов q1, q2, … qN. Расстояния от зарядов до данной точки поля равны r1, r2, … rN. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q0, будет равна алгебраической сумме работ сил, каждого заряда в отдельности.
Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, определяется как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых в этой же точке каждым зарядом в отдельности.
Вычисление разности потенциалов плоскости, двух плоскостей, сферы, шара, цилиндра
Используя связь между ц и определим разность потенциалов между двумя произвольными точками
Разность потенциалов поля равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда у.
§ 12.3 Работа сил электростатического поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности
На заряд q пр помещённый в произвольную точку электростатического поля с напряжённостью Е, действует сила F= q пр E. Если заряд не закреплён, то сила заставит его перемещаться и, значит, будет совершаться работа. Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда q пр из точки а электрического поля в точку b на отрезке пути dℓ, по определению, равна
(α - угол между F и направлением движения) (рис.12.13).
Если работа совершается внешними силами, то dA< 0 , если силами поля, то dA > 0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении q пр из точки a в точку b
(12.20)
Рисунок -12.13
(
- кулоновская сила, действующая на
пробный зарядq пр
в каждой точке поля с напряжённостью
E).
Тогда работа
(12.21)
Перемещение
совершается перпендикулярно вектору
,
следовательноcosα
=1, работа переноса пробного заряда q пр
от a
к b
равна
(12.22)
Работа сил электрического поля при перемещении заряда не зависит от формы пути, а зависит лишь от взаимного расположения начальной и конечной точек траектории.
Следовательно, электростатического поля точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы – консервативными .
Это свойство потенциальных полей. Из него следует, что работа совершаемая в электрическом поле по замкнутому контуру, равна нулю:
(12.23)
Интеграл
называется циркуляцией
вектора напряженности
.
Из обращения в нуль циркуляции вектора
Е следует, что линии напряжённости
электростатического поля не могут быть
замкнутыми, они начинаются на положительных
и кончаются на отрицательных зарядах.
Как известно, работа консервативных сил совершается за счёт убыли потенциальной энергии. Поэтому, работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q пр в начальной и конечной точках поля заряда q:
(12.24)
откуда следует, что потенциальная энергия заряда q пр в поле заряда q равна
(12.25)
Для одноименных зарядов q пр q >0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноимённых зарядов q пр q < 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Если поле создаётся системой n точечных зарядов q 1, q 2, …. q n , то потенциальная энергия U заряда q пр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий U i , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
(12.26)
Отношение
не зависят от зарядаq
и является энергетической характеристикой
электростатического поля.
Скалярная физическая величина, измеряемая отношением потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называется потенциалом электростатического поля.
(12.27)
Потенциал поля, создаваемый точечным зарядом q, равен
(12.28)
Единица потенциала – вольт .
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q пр из точки 1 в точку 2 может быть представлена как
т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.
Разность потенциалов двух точек электростатического поля φ 1 -φ 2 равна напряжению. Тогда
Отношение работы, совершаемой электростатическим полем при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую, к величине этого заряда называется напряжением между этими точками.
(12.30)
Графически электрическое поле можно изображать не только с помощью линий напряжённости, но и с помощью эквипотенциальных поверхностей.
Эквипотенциальные поверхности – совокупность точек, имеющих одинаковый потенциал. Из рисунка видно, что линии напряжённости (радиальные лучи) перпендикулярны эквипотенциальным линиям.
Э
квипотенциальных
поверхностей вокруг каждого заряда и
каждой системы зарядов можно провести
бесчисленноемножество
(рис.12.14).
Однако их
проводят так, чтобы разности потенциалов
между любыми двумя соседними
эквипотенциальными поверхностями были
одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных
поверхностей наглядно характеризует
напряжённость поля в разных точках.
Там, где эти поверхности расположены
гуще, напряжённость поля больше. Зная
расположение эквипотенциальных линий
(поверхностей), можно построить линии
напряжённости или по известному
расположению линий напряжённости можно
построить эквипотенциальные поверхности.
§ 12.4 Связь напряжённости и потенциала
Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую (напряжённость) и энергетическую (потенциал). Напряжённость и потенциал – различные характеристики одной и той же точки поля, следовательно, между ними должна быть связь.
Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 1 – х 2 = dx , равна qЕ х dx. Та же работа равна q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Приравнивая оба выражения, можем записать
Повторив аналогичные
рассуждения для осей у и z,
можем найти вектор
:
где
- единичные векторы координатных осей
х, у,z.
Из определения градиента следует, что
или
(12.31)
т.е. напряжённость поля Е равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряжённости Е поля направлен в сторону убывания потенциала.
Установленная связь между напряжённостью и потенциалом позволяет по известной напряжённости поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.
Поле равномерно заряженной сферы радиусом R
Напряжённость поля вне сферы определяется по формуле
(r
>R)
Разность потенциалов между точками r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) определим, используя соотношение
Потенциал сферы получим, если r 1 = R, r 2 → ∞:
Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра
Напряжённость поля вне цилиндра (r >R) определяется формулой
(τ – линейная плотность).
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) от оси цилиндра, равна
(12.32)
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Напряжённость поля этой плоскости определяется формулой
(σ - поверхностная плотность).
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии х 1 и х 2 от плоскости, равна
(12.33)
Поле двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей
Напряженность поля этих плоскостей определяется формулой
Разность потенциалов между плоскостями равна
(12.34)
(d – расстояние между плоскостями).
Примеры решения задач
Пример 12.1 . Три точечных заряда Q 1 =2нКл, Q 2 =3нКл и Q 3 =-4нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a =10см. Определите потенциальную энергию этой системы.
Дано : Q 1 =2нКл=2∙10 -9 Кл; Q 2 =3нКл=3∙10 -9 Кл; и Q 3 =-4нКл=4∙10 -9 Кл; a =10см=0,1м.
Найти : U .
Р
ешение:
Потенциальная
энергия системы зарядов равна
алгебраической сумме энергий взаимодействия
каждой из взаимодействующих пар зарядов,
т.е.
U=U 12 +U 13 +U 23
где соответственно потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в поле другого заряда на расстоянии а от него, равны
;
;
(2)
Подставим формулы (2) в выражение (1), найдём искомую потенциальную энергию системы зарядов
Ответ: U=-0,126мкДж.
Пример 12.2 . Определите потенциал в центре кольца с внутренним радиусом R 1 =30см и внешним R 2 =60см, если на нём равномерно распределён заряд q=5нКл.
Дано: R 1 =30см=0,3м; R 2 =60см=0,6м; q=5нКл=5∙10 -9 Кл
Найти : φ .
Решение: Кольцо разобьём на концентрические бесконечно тонкие кольца внутренним радиусом r и внешним – (r+dr).
Площадь рассматриваемого тонкого кольца (см.рисунок) dS=2πrdr.
П
отенциал
в центре кольца, создаваемый бесконечно
тонким кольцом,
где – поверхностная плотность заряда.
Для определения потенциала в центре кольца следует арифметически сложить dφ от всех бесконечно тонких колец. Тогда
Учитывая, что заряд кольца Q=σS, где S= π(R 2 2 -R 1 2)- площадь кольца, получим искомый потенциал в центре кольца
Ответ : φ=25В
Пример 12.3. Два точечных одноименных заряда (q 1 =2нКл и q 2 =5нКл) находятся в вакууме на расстоянии r 1 = 20см. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r 2 =5см.
Дано: q 1 =2нКл=2 ∙10 -9 Кл; q 2 =5нКл=5 ∙10 -9 Кл; r 1 = 20см=0,2м; r 2 =5см=0,05м.
Найти : А.
Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки поля, имеющей потенциал φ 1 , в точку с потенциалом φ 2 .
A 12 = q(φ 1 - φ 2)
При сближении одноимённых зарядов работу совершают внешние силы, поэтому работа этих сил равна по модулю, но противоположна по знаку работе кулоновских сил:
A= -q(φ 1 - φ 2)= q(φ 2 - φ 1). (1)
Потенциалы точек 1 и 2 электростатического поля
;
(2)
Подставив формулы (2) в выражение (1), найдём искомую работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды,
Ответ: А=1,35 мкДж.
Пример 12.4. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь под действием электростатического поля вдоль линии напряжённости от нити с расстояния r 1 =2см до r 2 =10см, изменил свою скорость от υ 1 =1Мм/с до υ 2 =5Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити..
Дано: q=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; r 1 =2см=2∙10 -2 м; r 2 = 10см=0,1м; r 2 =5см=0,05м; υ 1 =1Мм/с=1∙10 6 м/с; до υ 2 =5Мм/с=5∙10 6 м/с.
Найти : τ .
Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении протона из точки поля с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 идёт на увеличение кинетической энергии протона
q(φ 1 - φ 2)=ΔТ (1)
В случае нити электростатическое поле обладает осевой симметрией, поэтому
или dφ=-Edr,
тогда разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии r 1 и r 2 от нити,
(учли, что
напряжённость поля, создаваемого
равномерно заряженной бесконечной
нитью,
).
Подставив выражение
(2) в формулу (1) и учитывая, что
,
получим
Откуда искомая линейная плотность заряда нити
Ответ : τ = 4,33 мкКл/м.
Пример 12.5. Электростатическое поле создаётся в вакууме шаром радиусом R =8см, равномерно заряженными с объёмной плотностью ρ=10нКл/м 3 . Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими от центра шара на расстояниях: 1) r 1 =10см и r 2 =15см; 2) r 3 = 2см и r 4 =5см..
Дано: R=8см=8∙10 -2 м; ρ=10нКл/м 3 =10∙10 -9 нКл/м 3 ; r 1 =10см=10∙10 -2 м;
r 2 =15см=15∙10 -2 м; r 3 = 2см=2∙10 -2 м; r 4 =5см=5∙10 -2 м.
Найти : 1) φ 1 - φ 2 ; 2) φ 3 - φ 4 .
Решение: 1) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 от центра шара.
(1)
где
- напряжённость поля, создаваемого
равномерно заряженным с объёмной
плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей
вне шара на расстоянииr
от его центра.
Подставив это выражение в формулу (1) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов
2) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 3 и r 4 от центра шара,
(2)
где
- напряжённость поля, создаваемого
равномерно заряженным с объёмной
плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей
внутри шара на расстоянииr
от его центра.
Подставив это выражение в формулу (2) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов
Ответ : 1) φ 1 - φ 2 =0,643 В; 2) φ 3 - φ 4 =0,395 В
На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, действует сила, и поэтому при движении заряда в поле совершается определенная работа. Эта работа зависит от напряженности поля в разных точках и от перемещения заряда. Но если заряд описывает замкнутую кривую, т. е. возвращается в исходное положение, то совершаемая при этом работа равна нулю, как бы ни было сложно поле и по какой бы прихотливой кривой ни происходило движение заряда.
Это важное свойство электрического поля нужно несколько пояснить. Для этого рассмотрим сначала движение тела в поле силы тяжести. Работа, как мы знаем (см. том I), равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними: . Если этот угол острый (), то работа положительна, если же угол тупой (), то работа отрицательна. В первом случае мы получаем работу за счет действия силы , во втором – затрачиваем работу на преодоление этой силы. Представим себе, что в поле земного притяжения, т. е. в пространстве вблизи земной поверхности, где действует гравитационная сила притяжения к Земле, перемещается какое-нибудь тело.
Мы предполагаем, что при этом перемещении нет трения, так что тело не испытывает изменений состояния, которые могут сопровождаться изменениями его внутренней энергии: тело не нагревается, не распадается на части, не изменяет своего агрегатного состояния, не испытывает пластической деформации и т. д. В таком случае всякое перемещение тела в поле силы тяжести может сопровождаться лишь изменением потенциальной и кинетической энергии. Если тело опускается, то потенциальная энергия системы Земля-тело уменьшается, а кинетическая энергия тела соответственно увеличивается; наоборот, при подъеме тела происходит возрастание потенциальной энергии и одновременно уменьшение кинетической энергии. При этом полная механическая энергия, т. е. сумма потенциальной и кинетической, остается постоянной (см. том I). Как бы ни был сложен путь тела в поле силы тяжести (подъем и опускание по вертикальной, наклонной или криволинейной траектории, передвижение по горизонтальному направлению), но если в конце концов тело приходит в исходную точку, т. е. описывает замкнутый путь, то система Земля-тело возвращается в исходное положение и имеет ту же самую энергию, какой она обладала до начала перемещения тела. Это означает, что сумма положительных работ, совершенных силой тяжести при опускании тела, равна по модулю сумме отрицательных работ, совершенных силой тяжести на участках пути, соответствующих подъему тела. Поэтому алгебраическая сумма всех работ, совершаемых силой тяжести на отдельных участках пути, т. е. полная работа на замкнутом пути, равна нулю.
Из изложенного ясно, что наш вывод справедлив лишь в том случае, если в процессе участвовала лишь сила тяжести и отсутствовала сила трения и всевозможные другие силы, могущие вызвать указанные выше изменения внутренней энергии. Таким образом, силы гравитационного поля, в отличие от многих других сил, например сил трения, обладают свойством, которое мы можем сформулировать так: работа, совершаемая гравитационными силами при перемещении тела по замкнутому пути, равна нулю. Нетрудно видеть, что это свойство гравитационных сил является выражением закона сохранения (консервации) полной механической энергии. В связи с этим силовые поля, которые обладают указанным свойством, называют консервативными.
Подобно гравитационному полю, электрическое поле, создаваемое покоящимися электрическими зарядами, также является консервативным. Когда в нем перемещается заряд, то на тех участках пути, где направление перемещения составляет с направлением силы острый угол (например, в точке на рис. 38), работа, совершаемая силами поля, положительна. Напротив, там, где направление перемещения составляет с направлением силы тупой угол (в точке ), работа сил электрического поля отрицательна. Когда заряд, пройдя по замкнутому пути, вернется в исходную точку, полная работа электрических сил на этом пути, представляющая собой алгебраическую сумму положительных работ на одних участках и отрицательных на других, равна нулю.
Рис. 38. К доказательству независимости работы сил электрического поля от формы пути
Строгое математическое доказательство консервативности электрического поля в общем случае довольно сложно, и мы ограничимся поэтому доказательством этого свойства поля для простейшего случая – поля, создаваемого одним точечным зарядом.
Пусть в электрическом поле неподвижного точечного заряда другой заряд движется вдоль произвольной замкнутой кривой 1-2-3-4-5-6-1 (рис. 38) и после обхода вдоль кривой возвращается в исходную точку 1. Для подсчета совершаемой при этом работы проведем мысленно ряд сфер с центром в заряде , которые разобьют весь путь заряда на малые отрезки, и рассмотрим два отрезка и , лежащие между одними и теми же сферами (между точками 2 и 3, 5 и 6). Если отрезки и достаточно малы, то можно считать, что сила, действующая на заряд , всех точках каждого из отрезков постоянна. Так как оба отрезка находятся на равных расстояниях от заряда , то, согласно закону Кулона, силы взаимодействия зарядов на обоих отрезках одинаковы по модулю, но отличаются направлением, образуя разные углы и с направлением перемещения. Наконец, при достаточной малости и эти отрезки можно считать прямолинейными. Поэтому работа , совершаемая электрическими силами на пути 2-3, будет равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между направлениями силы и перемещения, т. е.
.
Точно так же работа , совершаемая на пути 5-6, равна
.
Но
, так что
. Кроме того, из чертежа видно, что
,
где – расстояние между сферами, заключающими отрезки и . Поэтому мы находим, что
т. е. что алгебраическая сумма работ на отрезках 2-3 и 5-6 равна нулю. Такой же результат мы получим и для любой другой пары соответствующих отрезков пути, заключенных между другими сферами. Поэтому и полная работа при обходе по замкнутому контуру, равная сумме работ на отдельных отрезках, тоже будет равна нулю.
Мы получили результат для случая электрического поля одного точечного заряда. Он оказывается справедливым для любого электростатического поля, т. е. поля, созданного неподвижными зарядами, так как поле, создаваемое любым распределением заряда, можно свести к полю совокупности точечных зарядов.
Итак, в электрическом поле работа при перемещении заряда по замкнутому контуру всегда равна нулю.
Так как работа на пути 1-2-3-4-5-6-1 равна нулю, то, следовательно, работа на пути 1-2-3-4 равна по модулю и противоположна по знаку работе на пути 4-5-6-1. Но работа при перемещении заряда на пути 4-5-6-1 равна но модулю и противоположна по знаку работе при перемещении того же заряда во встречном направлении, т. е. по пути 1-6-5-4. Отсюда следует, что работа на пути 1-2-3-4 (рис. 38) имеет тот же модуль и знак, что и работа на пути 1-6-5-4. Так как выбранный криволинейный контур совершенно произволен, то полученный результат можно выразить еще и так: работа, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда между двумя точками в электрическом поле, не зависит от формы пути. Она определяется только положением начальной и конечной точек пути.
20.1. Укажите по возможности больше черт сходства и различия между электрическим и гравитационным полями.
На любой заряд, который находится в электрическом поле, воздействует сила. В связи с этим при передвижении заряда в поле происходит определенная работа электрического поля. Как же произвести расчет этой работы?
Работа электрического поля состоит в переносе электрозарядов вдоль проводника. Она будет равняться произведению напряжения, и времени, потраченного на работу.
Применив формулу закона Ома, мы можем получить несколько различных вариантов формулы для проведения подсчета работы тока:
A = U˖I˖t = I²R˖t = (U²/R)˖t.
В соответствии с законом сохранения энергии работа электрического поля равняется изменению энергии отдельно взятого участка цепи, в связи с чем энергия, выделяемая проводником, будет равняться работе тока.
Выразим в системе СИ:
[А] = В˖А˖с = Вт˖с = Дж
1 кВт˖час = 3600000 Дж.
Проведем опыт. Рассмотрим передвижение заряда в одноименном поле, которое образовано двумя параллельно расположенными пластинами А и В и заряженными разноименными зарядами. В таком поле силовые линии на всем своем протяжении перпендикулярны этим пластинам, и когда пластина А будет заряжена положительно, тогда Е будет направлена от А к В.
Предположим, что позитивный заряд q передвинулся из точки a в точку b по произвольному пути ab = s.
Так как сила, которая действует на заряд, который находится в поле, будет равняться F = qE, то работа, совершенная при передвижении заряда в поле согласно заданному пути, определится по равенству:
A = Fs cos α, или A = qFs cos α.
Но s cos α = d, где d - дистанция между пластинами.
Отсюда следует: A = qEd.
Допустим, теперь заряд q переместится из a и b по сути acb. Работа электрического поля, совершенная на этом пути, равняется сумме работ, совершенных на отдельных участках его: ac = s₁, cb = s₂, т.е.
A = qEs₁ cos α₁ + qEs₂ cos α₂,
A = qE(s₁ cos α₁ + s₂ cos α₂,).
Но s₁ cos α₁ + s₂ cos α₂ = d, а значит, и в данном случае A = qEd.
Кроме того, предположим, что заряд q передвигается из a в b по произвольной кривой линии. Чтобы подсчитать работу, совершенную на данном криволинейном пути, необходимо расслоить поле между пластинами А и В некоторым количеством которые будут настолько близки одна к другой, что отдельные участки пути s между данными плоскостями можно будет считать прямыми.
В таком случае работа электрического поля, произведенная на каждом из данных отрезков пути, будет равняться A₁ = qEd₁, где d₁ - дистанция между двумя сопредельными плоскостями. А полная работа на всем пути d будет равняться произведению qE и суммы расстояний d₁, равной d. Таким образом, и в результате криволинейного пути совершенная работа будет равняться A = qEd.
Примеры, рассмотренные нами, показывают, что работа электрического поля по перемещению заряда из какой-либо точки в другую не зависит от формы пути передвижения, а зависит исключительно от положения данных точек в поле.
Кроме того, мы знаем, что работа, которая совершается силой тяжести при передвижении тела по наклонной плоскости, имеющей длину l, будет равняться работе, которую совершает тело при падении с высоты h, и высоте наклонной плоскости. Значит, работа или, в частности, работа при передвижении тела в поле тяжести, тоже не зависит от формы пути, а зависит только от разности высот первой и последней точек пути.
Так можно доказать, что таким важным свойством может обладать не только однородное, а и всякое электрическое поле. Похожим свойством обладает и сила тяжести.
Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда из одной точки в другую определяется линейным интегралом:
A₁₂ = ∫ L₁₂q (Edl),
где L₁₂ - траектория движения заряда, dl - бесконечно малое перемещение вдоль траектории. Если контур замкнутый, то для интеграла используется символ ∫; в этом случае предполагается, что выбрано направление обхода контура.
Работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат первой и последней точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле - потенциально. Стоит отметить, что работа любой по замкнутому пути будет равняться нулю.
Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда из одной точки электростатического поля в другую на отрезке пути , по определению равна
где - угол между вектором силы F и направлением движения . Если работа совершается внешними силами, то dA0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении пробного заряда из точки “а” в точку “b” будет равна
где - кулоновская сила, действующая на пробный заряд в каждой точке поля с напряженностью Е. Тогда работа
Пусть заряд перемещается в поле заряда q из точки “а”, удалённой от q на расстоянии в точку “b”, удаленную от q на расстоянии (рис 1.12).
Как видно из рисунка тогда получим
Как было сказано выше, работа сил электростатического поля, совершаемая против внешних сил, равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил, следовательно
Потенциальная энергия заряда в электрическом поле.
Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q
из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда: 
,
где W п1 и W п2 – потенциальные энергии заряда q в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q , изменение потенциальной энергии равно
.
При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r 1 и r 2 от заряда Q ,
Если поле создано системой точечных зарядов Q 1 , Q 2 ,¼, Q n , то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле:
.
Приведённые формулы позволяют найти только изменение потенциальной энергии точечного заряда q , а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q , находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q , получим
,
где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид
При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную .В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q :
.
Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... ,n ). Энергиявзаимодействия всех n зарядов определится соотношением
,
где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.
Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля , определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, j = W п / q , откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).
Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e:
Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q 1, Q 2 ¼, Q n имеем
,
где r i - расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j, до заряда Q i . Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то
,
где r - расстояние от элементарного объема dx , dy , dz до точки (x , y , z ), где определяется потенциал; V - объем пространства, в котором распределен заряд.
Потенциал и работа сил электрического поля.
Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q
из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q
(j 1 - j 2).
Если по аналогии с потенциальной энергией считать, что в точках, бесконечно удалённых от электрических зарядов - источников поля, потенциал равен нулю, то работу сил электрического поля при перемещении заряда q
из точки 1 в бесконечность можно представить как A
¥ = q
j 1 .
Таким образом, потенциал â данной точке электростатического поля - этофизическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную
: j = A
¥ / q
.
В некоторых случаях потенциал электрического поля нагляднее определяется какфизическая величина, численно равная работе внешних сил против сил электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку
. Последнее определение удобно записать следующим образом:
В современной науке и технике, особенно при описании явлений, происходящих в микромире, часто используется единица работы и энергии, называемая электрон-вольтом (эВ). Это работа, совершаемая при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками с разностью потенциалов 1 В: 1 эВ = 1,60×10 -19 Кл×1 В = 1,60×10 -19 Дж.
Метод точечных зарядов.
Примеры применения метода для расчета напряженности и потенциала электростатического поля.
Будем искать, каким образом связаны напряженность электростатического поля, которая является его силовой характеристикой , и потенциал, который есть его энергетическая характеристика поля .
Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены достаточно близко друг к другу и x 2 -x 1 =dx, равна E x dx. Та же работа равна φ 1 -φ 2 =dφ. Приравняв обе формулы, запишем 
(1)
где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование осуществляется только по х. Повторив эти рассуждения для осей у и z, найдем вектор Е
: 
где i
, j
, k
- единичные векторы координатных осей х, у, z.
Из определения градиента следует, что
или (2)
т. е. напряженность Е
поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус говорит о том, что вектор напряженности Е
поля направлен в сторону уменьшения потенциала
.
Для графического представления распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуютсяэквипотенциальными поверхностями
- поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одинаковое значение.
Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно формуле потенциала поля точечного заряда, φ=(1/4πε 0)Q/r .Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы с цетром в точечном заряде. Заметим также, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Значит, линии напряженности в случае точечного зарядаперпендикулярны
эквипотенциальным поверхностям.
Линии напряженности всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. В самом деле, все точки эквипотенциальной поверхности обладают одинаковым потенциалом, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, которые действуют на заряд, всегда направлены по перпендикурярам к эквипотенциальным поверхностям. Значит, вектор Е
всегда перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям
, а поэтому линии вектора Е
перпендикулярны этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесконечное множество. Но обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были равны друг другу. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где гуще расположены эти поверхности, напряженность поля больше.
Значит, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно нарисовать эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному нам расположению эквипотенциальных поверхностей можно найти в каждой точке поля направление и модуль напряженности поля. На рис. 1 в качестве примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного электрического заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, который имеет на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).
Теорема Гаусса.
Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей.
Поток вектора напряженности.
Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N E .
Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).
Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).
где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен
Разобъем весь объем, заключенный внутри поверхности S на элементарные кубики типа изображенных на рис. 2.7. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора a через поверхность каждого элементарного кубика равен
,
а суммарный поток через все кубики, заполняющие объем V, есть
 | (2.16) |
Рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков d Ф через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора a через каждую из внутренних граней войдет дважды.
Тогда полный поток через поверхность S=S 1 +S 2 будет равен сумме потоков через только внешние грани, поскольку сумма потоков через внутреннюю грань даст ноль. По аналогии можно заключить, что все относящиеся к внутренним граням члены суммы в левой части выражения (2.16), сократятся. Тогда, переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим выражение (2.15), где интегрирование производится по поверхности, ограничивающей объем.
Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл в (2.12) объемным
и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему
Тогда получим следующее выражение
Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V . Это возможно только в том случае, если значения подинтегральных функций в каждой точке объема одинаковы. Тогда можно записать
 | (2.17) |
Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме.
1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости . Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (σ = dQ/dS - заряд, который приходится на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны данной плоскости и направлены от нее в каждую из сторон. Возьмем в качестве замкнутой поверхности цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности поля (соsα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е n совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, который заключен внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σS. Согласно теореме Гаусса, 2ES=σS/ε 0 , откуда
Из формулы (1) следует, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях равна по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно .
2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 2). Пусть плоскости заряжены равномерно разными по знаку зарядами с поверхностными плотностями +σ и –σ. Поле таких плоскостей будем искать как суперпозицию полей, которые создаваются каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние - от отрицательно заряженной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (поскольку линии напряженности направлены навстречу друг другу), значит здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E = E + + E - (E + и E - находятся по формуле (1)), поэтому результирующая напряженность
Значит, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается зависимостью (2), а вне объема, который ограничен плоскостями, равна нулю.
3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности . Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ. Т.к. заряд распределен равномернопо поверхности то поле, которое создавается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr 2 E = Q/ε 0 , откуда
(3)
При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r" Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r" согласно зависимости (4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая показан на рис. 5. Если r Электрический диполь.
Характеристики электрического диполя. Поле диполя. Диполь в электрическом поле. Совокупность двух равных по величине разноименных точечных зарядов q, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, малом по сравнению с расстоянием до рассматриваемой точки поля называется электрическим диполем.(рис.13.1) Произведение называется моментом диполя. Прямая линия, соединяющая заряды называется осью диполя. Обычно момент диполя считается направленным по оси диполя в сторону положительного заряда.
5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)
. Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 6) равномерно заряжен слинейной плотностью
τ (τ = –dQ/dt заряд, который приходится на единицу длины). Из соображений симметрии мы видим, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. Мысленно построим в качестве замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиуса r и высотой l
. Поток вектора Е
сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы и линии напряженности параллельны), а сквозь боковую поверхность равен 2πrl
Е. Используя теорему Гаусса, при r>R 2πrl
Е = τl
/ε 0 , откуда